При эпидемии гриппа число больных n изменяется по формуле как делать

Практическая работа № 9

«Моделирование эпидемии»

Файлы-заготовки для выполнения этой практической работы

Для выполнения работы откройте файл-заготовку Эпидемия.xls.

При эпидемии гриппа число больных N изменяется по формуле

где — Zi количество заболевших в i-й день, а Vi — количество выздоровевших в тот же день. Число заболевших рассчитывается согласно модели ограниченного роста:

где L — общая численность жителей, K — коэффициент роста и Wi — число переболевших (тех, кто уже переболел и выздоровел, и поэтому больше не заболеет):

Считается, что в начале эпидемии заболел 1 человек, все заболевшие выздоравливают через 7 дней и больше не болеют.

Выполните моделирование развития эпидемии при L = 1000 и K = 0,5 до того момента, когда количество больных станет равно нулю. Постройте график изменения количества больных.

Ответьте на следующие вопросы:

1. Когда закончится эпидемия?

2. Сколько человек переболеет, а сколько вообще не заболеет гриппом?

3. Каково максимальное число больных в один день?

4. Изменяя коэффициент K, определите, при каких значениях K модель явно перестает быть адекватной.

5. *Сравните модель, использованную в этой работе, со следующей моделью:

Анализируя результаты моделирования, докажите, что эта модель неадекватна. Какие допущения, на ваш взгляд, были сделаны неверно при разработке этой модели?

Сравните поведение двух моделей при K = 0, K = 0,3 и K = 1. Сделайте выводы.

Моделирование в электронной таблице (компьютерная модель)

При сделанных нами предположениях ход эпидемии зависит от трех величин:

• коэффициент k
• количество учеников в классе n
• число носителей инфекции в первый день эпидемии b

Эти три величины будем рассматривать в качестве управляющих параметров.

Заметим, что во 2-ой, 3-ий, 4-ый, 5-ый, 6-ой день выздоровевших учеников не будет, поэтому до 7-го дня характер эпидемии определяется теми же формулами, которые соответствуют 2-му дню.

Начиная с 7-го дня, учащиеся начинают выздоравливать, поэтому необходимо внести поправки в формулы в ячейках Е11 и F11.

Проведение компьютерного эксперимента

1. Провести тестовый расчет модели по данным, приведенным в таблице 2.

a. Заполнить столько строк расчетной таблицы, пока количество больных и носителей не станет равно 0.

b. Представить в виде графика зависимость числа учеников в классе от дня эпидемии.

2. Используя график, проанализируйте ход эпидемии при различных значениях коэффициента заболеваемости k, общем числе учеников в классе n и числе инфицированных p. Опишите динамику эпидемии в тетради по следующему плану:

Таблица 2

· в какой день в классе присутствует наименьшее число учеников;

· за сколько дней эпидемия полностью прекращается.

· Исследуйте, как изменяется ход эпидемии при росте коэффициента заболеваемости k от 0.05 до 0.6, при неизменных численности класса и начального значения b — числа инфицированных учащихся.

· Как изменяется длительность эпидемии?

· Как изменяется количество переболевших гриппом?

1. Исследуйте, как изменяется ход эпидемии при росте изначально инфицированных учащихся от 1 до 20, при неизменных численности класса и коэффициенте заболеваемости k.

· Как изменяется длительность эпидемии?

· Как изменяется количество учащихся, переболевших гриппом?

1. Будем считать, что эпидемия не развивается, если в классе каждый день присутствует не менее 90% учащихся. Установите, при каких значениях коэффициента k эпидемия не развивается, если в первый день в класс приходит один заболевший ученик. Найдите (с точностью до сотых) наибольшее такое значение.
2. Будем называть нормальной эпидемию, при которой в «пик» заболеваемости болеет примерно половина учащихся. Пусть в первый день заражены примерно 10% учащихся. Определите значение k для нормальной эпидемии в классе и школе (c 600 учащимися).

Простейшая модель эпидемии

За многие годы существования человечества огромное число людей погибло от разных эпидемий. Для того чтобы уметь бороться с эпидемиями, т. е. своевременно проводить тот или иной комплекс мероприятий (прививки, вакцины, карантин и т.д.), необходимо уметь оценить эффективность каждого такого комплекса и выбрать наиболее оптимальный для данного вида эпидемии (холера, чума, грипп, СПИД и т.д.). Оценка эффективности базируется, как правило, на прогнозе о протекании эпидемии. Отсюда вытекает задача построения модели, которая могла бы служить целям прогноза. Самой простой моделью является описание естественного хода эпидемии без применения каких-либо профилактических мероприятий.

Итак, пусть имеется N здоровых людей, и в момент времени t = 0 в эту группу попадает один заболевший человек (источник инфекции). Предположим, что удаления заболевших из группы не происходит и человек становится источником инфекции сразу же, как заразился сам.

Обозначим через x(t) число источников инфекции в момент времени t, а через y(t) — число еще не заболевших (часть из них, естественно, может заболеть с течением времени). Очевидно, что х(t) + y(t) = N +1 в любой момент времени t, причем при t = 0 выполняется условие х(0) = 1. Рассмотрим интервал времени t, t +∆ t, где ∆ t достаточно мало. Естественно, что число больных ∆х, появившихся за этот интервал, пропорционально ∆t(∆x≈∆t). Естественно также предположить, что это число пропорционально числу контактов между больными и здоровыми, т.е. произведению x(t)y(t). Таким образом, ∆x≈αx(t)y(t)dt, где α — коэффициент пропорциональности. Устремляя ∆t к нулю из последнего соотношения, получим дифференциальное уравнение

=αx(t)(N+1-x(t)), (9.14)

которое вместе с начальным условием

х(0)=1 (9.15)

определяет функцию x(t). Уравнение (9.14) по виду является логистическим, оно рассмотрено в предыдущем параграфе. Поэтому сразу можно записать решение x(t) задачи Коши (9.14), (9.15) в удобном виде

, t 0. (9.16)

Итак, число заболевших — функция времени. Проанализируем эту функцию. Из уравнения (9.16) вытекает, что с течением времени число заболевших может только увеличиваться, а все здоровые люди заболеют, так как

=N+1. Конечно, это грубая модель, не учитывающая естественного иммунитета у здоровых людей к данному заболеванию.

Интересно выяснить, как меняется скорость увеличения числа больных, т. е. величина

, t 0 (9.17)

Для решения этого вопроса нужно изучить величину .

Дифференцируя уравнение (9.17), получаем

, t 0. (9.18)

Из этого уравнения вытекает, что при > 0 при t и

Для сравнения приведем результаты использования более сложных моделей развития гриппозной эпидемии в Москве [22], где население составляет 8,5 млн человек. Это позволит нам также определить численные значения параметров N и α, при которых наша модель более реалистична.

Началу эпидемии соответствует число заболевших 79,1 тыс. человек, откуда N = 8,5 млн./79,1 тыс. ≈1100 человек. Пик заболеваемости приходится на 46-й день, т. е. 46

, откуда . По формуле (9.16) находим число больных . По отношению к 1100 чел. это составляет 11%, что согласуется с экспериментальными данными [22], где число больных равно 981 тыс. человек и составляет 11,5%. Конечно, применение соответствующих профилактических мер дает значительный положительный эффект, пик числа больных снижается с 981тыс. до 122 тыс. человек, однако создание соответствующей математической модели — существенно более трудная задача.

Матричные модели

Матричную модель можно рассматривать как конечно-разностный аналог динамической модели. Один из ранних вариантов матричной модели был разработан Льюисом и Лесли [30] как детерминистская модель, предсказывающая будущую возрастную структуру популяции самок по известной структуре в настоящий момент времени и гипотетическим коэффициентам выживания и плодовитости. Популяцию разбивают на n+1 возрастную группу (т. е. 0, 1, 2. п, причем каждая группа состоит из особей одного возраста), так что самая старшая группа, или группа, в которой все доживающие до данного возраста животные вымирают, имеет номер п. Обозначая через xn число особей в каждой возрастной группе, получаем вектор

представляющий возрастную структуру в момент времени t.

Модель описывается матричным уравнением

(9.19)

которое запишем в развернутом виде:

где величины fi,(i=0,1. n) представляют число самок, производимых самкой i-го возраста,

р, (i = 0,1. п -1) — вероятность того, что самка i-го возраста доживет до возраста i+1.

Покажем, что поведение модели можно предсказать, анализируя некоторые формальные свойства матрицы А. Во-первых, последовательно умножая уравнение (9.19) на матрицу А, легко получить более общие уравнения для численности возрастных групп к моменту времени

(9.21)

Во-вторых, поскольку матрица А квадратная с (n+1) строками и столбцами, она имеет n+1 собственных чисел (с учетом кратности) и (n+1) собственных (и присоединенных) векторов. Элементы А являются либо положительными числами, либо нулями, поэтому наибольшее (по абсолютной величине) собственное число и координаты отвечающего ему собственного вектора положительны и при этом имеют определенный экологический смысл. Проиллюстрируем это на одной из простейших моделей, предложенных Уильямсоном [54].

Исходная популяция имеет вектор, представляющий возрастную структуру а = (0,0,1), т. е. популяция состоит из одной самки старшего возраста. Матрица А имеет вид:

По прошествии одного временного интервала имеем

т. е. a1 = (12, 0, 0) и в популяции уже будет 12 самок младшего возраста. Повторное применение модели дает следующие результаты:

Главное собственное число и собственный вектор матрицы А можно найти известными методами, имея

(9.22)

или полагая

— систему линейных алгебраических уравнений

Следовательно, главное собственное число λ1= 2 и собственный вектор в силу (9.23) имеет вид

= (24, 4,1). Остальные собственные числа в силу (9.24) имеют вид λ2=-1, λ3=-1. В силу (9.23) собственный вектор имеет вид = (6,-2,1). Так как собственное число -1 двукратно, то для нахождения вектора (называемого присоединенным), решаем систему уравнений (A- λ2) = :

Нетрудно проверить, что система (9.25) допускает решение

= (0, — 2, 2). Привлекая геометрические соображения, заключаем, что возрастная структура популяции представляется вектором в трехмерном пространстве, в котором векторы = (24,4, 2), = (6, — 2,1) и = (0, — 2, 2) — базисные, т. е.

(9.26)

где α, β, γ — некоторые положительные числа (например, если

= (258, 30, 17), то α=10, β=3, γ=2).

Тогда уравнение (9.21) примет вид:

(9.27)

Так как

→ 0, k → ∞, то при t=+k → ∞популяция возрастает по экспоненциальному закону

(9.28)

Главное собственное число λ1 дает скорость, с которой возрастает размер популяции (в нашем примере за каждый временной интервал популяция удваивается), а собственный вектор

определяет устойчивую возрастную структуру популяции, т. е. отношение численностей особей разных возрастных групп остается постоянным и равным 24:4:1. Нетрудно видеть, что если мы в конце каждого временного интервала будем изымать половину популяции и использовать на корм, то размер ее станет равным исходному .

Матричные модели очень удобны для расчета на ЭВМ и находят все более широкое применение, например, для анализа круговорота питательных веществ в экосистемах, в различных стохастических моделях [54] (в марковских моделях и т.д.).

1. Показать, что график логистического уравнения имеет единственную точку перегиба. Найти ее и дать биологическую интерпретацию.

2. Рассмотреть систему Вольтерра в случае

. Найти отношения .

3. Построить и исследовать модель эпидемии в городе с 300-тысячным населением.

4. Исходная популяция имеет следующую возрастную структуру a = (0,6,12) и матрица Лесли А — следующий вид:

Найти (приближенно) численность популяции через достаточно большое число п лет и ее устойчивую возрастную структуру.

Методическая разработка практического занятия «Моделирование эпидемии гриппа в Excel»

Методическая разработка практического занятия «Моделирование эпидемии гриппа в Excel».

Смоделировать развитие эпидемии гриппа и проанализировать полученные расчётные данные можно, используя технологию обработки числовой информации электронные таблицы Excel. После выполнения практической работы в Excel, на которой изучались вопросы работы с формулами в Excel, относительные и абсолютные ссылки, построение графиков, предлагается продемонстрировать применение полученных знаний и навыков, а также возможностей Excel для рассмотрения конкретной задачи. Закрепление навыков работы на компьютере, применяя методику выполнения конкретных задач с использованием медицинской направленности, позволяет развить у студентов интеллектуальные умения и самостоятельную мыслительную деятельность при работе с информацией.

Моделирование задачи состоит из нескольких этапов: чёткая формулировка задачи, выявления исходных данных для её решения, разработка математической модели решаемой задачи, выбор метода решения, выполнение задачи и анализ полученных результатов.

В городе, населённостью 1 млн. человек, начинается эпидемия гриппа. Требуется отследить «развитие» эпидемии, для этого сформировать таблицу, в которой отражены данные на каждый день эпидемии о:

— количестве заболевших на каждый день,

— количестве нетрудоспособных в связи с болезнью, если допустить, что заболевание длится 10 дней,

— количестве обращений к врачу, если считать, что больной обращается дважды к врачу: в начале заболевания и в конце,

— количестве обращений к врачу,

— количестве врачей для обслуживания больных, если на одного врача допускается двадцать посещений больных.

Построить графики, иллюстрирующие развитие эпидемии гриппа: рост числа заболевших, количество нетрудоспособных в связи с болезнью, число обращений к врачу, зависимость количества врачей, необходимых для обслуживания больных.

— население города 1 млн. человек,

— допустим, в город приехали 20 человек, которые являются переносчиками гриппа.

Для вычисления количества заболевших в определенный день эпидемии используется уравнение:

а =0,000002- коэффициент, характеризующий степень заразности для гриппа,

К1- не перенесшие заболевание (без иммунитета),

К2- заболевшие вчера (они активно продуцируют возбудитель)

III. Практическая часть. Выполнение расчетов. Построение

Для решения поставленной задачи в Excel формируется следующая таблица:

Ещё не перенесли грипп

число обращений к врачу

Количество дней эпидемии целесообразно взять не более 36.

Для расчёта количества «заболевших сегодня» в ячейку С3 вводится формула на основании уравнения (1):

=ОКРУГЛ(0,000002*B2*C2;0); в этой формуле используется округление расчётных данных до целого значения.

Для расчёта «не перенесших гриппа» необходимо вычесть из количества не перенесших грипп в предыдущий день эпидемии количество заболевших сегодня, для этого в ячейку В3 вводится формула =B2-C3

Выделив ячейки В3 и С3, можно эти формулы скопировать эти формулы на все дни эпидемии. При таком копировании координаты ячеек в формуле будут относительными, т. е. меняться в зависимости от адреса ячеек, например, в ячейке С4: =ОКРУГЛ(0,000002*B3*C3;0) , а в ячейке В4: =B3-C4 и т. д. После расчёта таблица выглядит так:

Ещё не перенесли грипп

Число обращений к врачу

Таким образом, в каждый последующий день эпидемии расчёт числа заболевших производится относительно данных предыдущего дня эпидемии.

По таблице видно, что пик заболеваемости приходится на 16-ый день эпидемии, и уже к 28-му дню нет вновь заболевших гриппом.

Для расчёта на каждый день заболевших всего необходимо сложить заболевших сегодня и заболевших всего в предыдущий день, для этого в ячейку D3 вводится формула =C3+D2 и затем эта формула копируется в ячейки столбца D на все дни эпидемии. При этом координаты ячеек в формуле будут относительными.

Для вычисления количества нетрудоспособного населения на каждый день эпидемии в связи с болезнью надо учитывать, что заболевание длится 10 дней, поэтому в первые десять дней количество нетрудоспособных в каждый день эпидемии равно числу заболевших сегодня плюс число получивших больничный лист вчера; формула вводится в ячейку E3: =C3+E2 и затем копируется на первые десять дней эпидемии. На 11-ый день эпидемии для расчёта количества нетрудоспособных на каждый день эпидемии надо сложить число заболевших сегодня и число получивших больничный лист вчера, и из полученной суммы вычесть число заболевших в первый день эпидемии, т. к. они уже здоровы. В ячейке E12 вводится формула =C12+E11-C2 и затем копируется на остальные дни эпидемии.

Для расчёта числа обращений к врачу необходимо учесть, что больной обращается дважды к врачу: в начале заболевания и в конце заболевания — на десятый день болезни. Число обращений к врачу первые девять дней эпидемии очевидно равно количеству заболевших сегодня, а на десятый день эпидемии для расчёта числа обращений к врачу к количеству заболевших сегодня прибавляется число заболевших в первый день эпидемии. В ячейку F2 вводится формула =C2, и эта формула копируется на девять дней эпидемии, в ячейку F11 вводится формула =С11+С2 и затем эта формула копируется на все остальные дни эпидемии.

Последний расчёт — количество врачей для обслуживания больных вычисляется в столбике G и равен числу обращений к врачу делить на 20 (по условию задачи на одного врача допускается 20-ть посещений больных за один приём), для этого в ячейку G2 вводится формула =ОКРУГЛ(F2/20;0).